分析 （1）由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF．
（2）①图1中，由翻折可知FBH=∠HBC=∠FHB所以FB=FH，设FB=FH=x，在RT△AFB利用勾股定理即可．
②情形一：如图2，BE=BH=BC=5时，在RT△ABH中，求出AH即可．情形二：如图3中，HE=BH时，只要证明△ABH≌△DCH即可．情形三：如图4中，EB=EH时，在RT△HCD中利用勾股定理即可．
解答 （1）证明：由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=90°，
∴AB=DE，BE=AD，
在△ABD与△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{BE=AD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠EBD=∠ADB，
∴BF=DF；
（2）①如图1中，∵∠GEH=∠HCD=30°，∠D=90°，DC=$\sqrt{3}$，
∴DH=1，AH=AD-AD=5-1=4，
∵AD∥CB，
∴∠FBH=∠HBC=∠FHB，
∴FB=FH，设FB=FH=x，
在RT△ABF中，∵AB2+AF2=BF2，
∴（$\sqrt{3}$）2+（4-x）2=x2，
∴x=$\frac{19}{8}$．
②情形一：如图2，BE=BH=BC=5时，
在RT△ABH中，∵AB=$\sqrt{3}$，BH=5，
∴AH=$\sqrt{B{H}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{25-3}$=$\sqrt{22}$，
∴DH=AD-AH=5-$\sqrt{22}$．
情形二：如图3中，HE=BH时，
∵EH=HC，
∴HB=HC，
在RT△ABH和RT△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HB=HC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△DCH，
∴DH=AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$．
情形三：如图4中，EB=EH时，
∵EH=HC，
∴HC=EB=BC=4，
在RT△HCD中，∵HC=5，CD=$\sqrt{3}$，
∴HD=$\sqrt{H{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{22}$．
点评 本题考查矩形的性质、翻折不变性，解题的关键是巧妙利用翻折不变性解决问题，学会分类讨论，通过这类题目的训练可以提高自己的观察能力、动手能力．
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