Question

10．锐角△ABC的三条高AD，BE，CF交于H，联结DF交BH于P，过P作PQ∥AD交AB于Q，求证：直线QE平分线段AH．

Answer 1

分析 证明△FPP∽△EAQ，则∠PFH=∠EAH，然后根据CDFA四点共圆，得到∠PFH=∠EAH，从而证明△AEM是等腰三角形，然后证明△MHE是等腰三角形即可证得．

解答 证明：∵AFHE共圆，
∴△BHF∽△BAE
∴$\frac{BH}{BA}=\frac{FH}{EA}$，
又∵PQ‖AH，
∴$\frac{BH}{BA}=\frac{PH}{QA}$，
∴$\frac{PH}{QA}=\frac{FH}{EA}$，
又∵∠FHP=∠EAQ，
∴△FHP∽EAQ，
∴∠PFH=∠AEQ．
∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴CDFA共圆，
∴∠PFH=∠EAH，
∴∠EAH=∠AEQ，
∴AM=EM，
又∵∠AEH=90°，
∴∠EAH+∠AHE=90°，AEM+∠MEH=90°，
∴∠MEH=∠AHE，
∴MH=ME，
∴AM=MH，即直线QE平分线段AH．

点评 本题考查了三角形的相似以及等腰三角形的判定，证明∠HAE=∠AFQ，得到△AEM是等腰三角形是关键．