【题目】如图已知在直角坐标系中,一条抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中B(3,0),C(0,4),点A在x轴的负半轴上,OC=4OA.
(1)求点A坐标;
(2)求这条抛物线的解析式,并求出它的顶点坐标.
【答案】(1)点A的坐标为(﹣1,0);(2)y=+4,顶点坐标是(1,).
【解析】
(1)根据B(3,0),C(0,4),点A在x轴的负半轴上,OC=4OA,可以求得OA的长,从而可以得到点A的坐标;
(2)根据点A和点B的坐标可以设出该抛物线的解析式,然后根据抛物线经过点C可以求得该抛物线的解析式,再将解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标.
解:(1)∵B(3,0),C(0,4),点A在x轴的负半轴上,OC=4OA,
∴OC=4,
∴OA=1,
∴点A的坐标为(﹣1,0);
(2)设这条抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
∵点C(0,4)在此抛物线上,
∴4=a(0+1)(0﹣3),
解得,a=﹣,
∴y=﹣(x+1)(x﹣3)=+4=﹣,
∴该抛物线的顶点坐标为(1,),
即这条抛物线的解析式为y=+4,它的顶点坐标是(1,).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以直线为对称轴的抛物线与直线交于,两点,与轴交于,直线与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设直线与抛物线的对称轴的交点为,是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若,且与的面积相等,求点的坐标;
(3)若在轴上有且只有一点,使,求的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D,B(﹣3,0),A(0,)
(1)求抛物线解析式及D点坐标;
(2)如图1,P为线段OB上(不与O、B重舍)一动点,过点P作y轴的平行线交线段AB于点M,交抛物线于点N,点N作NK⊥BA交BA于点K,当△MNK与△MPB的面积相等时,在X轴上找一动点Q,使得CQ+QN最小时,求点Q的坐标及CQ+QN最小值;
(3)如图2,在(2)的条件下,将△ODN沿射线DN平移,平移后的对应三角形为△O′D′N′,将△AOC绕点O逆时针旋转到A1OC1的位置,且点C1恰好落在AC上,△A1D′N′是否能为等腰三角形,若能求出N′的坐标,若不能,请说明理由.
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【题目】阅读下列两则材料,回答问题:
材料一:我们将与称为一对“对偶式”因为,所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如:已知,求 的值.解:,
材料二:如图,点,点,以AB为斜边作,则,于是,,所以.反之,可将代数式的值看作点到点的距离.
例如:=.
所以可将代数式的值看作点到点的距离.
利用材料一,解关于x的方程:,其中;
利用材料二,求代数式的最小值,并求出此时y与x的函数关系式,写出x的取值范图;
将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x,直接写出x的值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,连接AC、BD,作DF⊥AC,交AC于点E,交BC于点F,∠ADB=2∠DBC,若BC=,DF=5,则AB的长为_____.
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【题目】如图,在毎个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.
(1)画出一个以AB为一直角边的Rt△ABE,点E在小正方形的顶点上,且∠BAE=45°;
(2)画出一个以CD为一边的菱形CDMN,点M、N均在小正方形的顶点上,且菱形CDMN的面积是△ABE面积的4倍,连接EN,请直接写出线段EN的长.
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【题目】如图,直线y=kx+b与反比例函数的图象分别交于点A(﹣1,2),点B(﹣4,n),与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求此一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施.某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计,制成了如下两幅不完整的统计图:
(1)该校近四年保送生人数的极差是 .请将折线统计图补充完整;
(2)该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学,学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况.请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.
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