Question

在平面直角坐标系中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作.

（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），

①直线：，直线：，直线：，直线：都经过点P，在直线， ， ， 中，是⊙O的“x关联直线”的是 ；

②若直线是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标的最大值是 ；

（2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，

①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”：，点M的横坐标为，当最大时，求k的值；

②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标，⊙A的两条“x关联直线”,是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由．

 

 

Answer 1

（1）①;②;（2）①;②不变,理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）①②直接根据定义求解即可.

（2）①当直线PB与⊙A相切于点B时,此时点M的横坐标最大，求出此时的k的值.

②根据定义和锐角三角函数定义得出,即,而得出结论.

试题解析：（1）①.

②.

（2）①如图，当直线PB与⊙A相切于点B时,此时点M的横坐标最大，

作PH⊥x轴于点H，

∴HM=，AM= ，

在Rt△ABM和Rt△PHM中， ，

∴BM=HM=．

在Rt△ABM中， ，

∴，解得．

∴点M的横坐标最大时，．∴．

②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．

如图，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C,D， ∴PC=PD．

又∵AC=A，∴AP垂直平分BC．

在Rt△ADF和Rt△ADP中， ，∴．

在Rt△AEF和Rt△AOP中， ，∴．

∴．

∴，即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．

考点：1.新定义;2.直线与圆的位置关系;3.直线上点的坐标与方程的关系;4．锐角三角函数定义.