Question

【题目】在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在线段BC上，且AE＝CF，连接EF．

（1）如图，已知线段AB，请补全图形，画出符合题意的图形．

（2）求证：BE＝BF．

（3）若∠EAC＝30°，则∠CFE是多少度？

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）15°

【解析】

（1）根据题意作图即可；

（2）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF，则可得到BE=BF；

（3）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=15°，BE=BF，进而得出∠FEB=45°，进而解答即可．

解：（1）如图，根据题意画图，

（2）∵∠ABC＝90°＝∠FBC，

∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），

∴BE＝BF；

（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°，

∵∠CAE＝30°，

∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝15°，BE＝BF，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴∠FEB＝45°，

∴∠CFE＝45°﹣30°＝15°．