Question

【题目】（1）如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：BF＝AE.

(2) 如图2,正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长。

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,则 GH=___________；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,则 GH=___________；(用n的代数式表示).

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）13（3）8， 4n

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据同角的余角相等求出∠EAB=∠FBC，然后利用“角边角”证明△ABE和△BCF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）连接AE，过点N作NH⊥AD于H，根据翻折的性质可得AE⊥NM，然后求出∠DAE=∠MNH，再利用“角边角”证明△ADE和△NHM全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=MN，然后利用勾股定理列式求出AE，从而得解；

（3）过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，利用相似三角形对应边成比例求解即可．

试题解析：（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°

∴∠ EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠FBC

∴△ABE≌△BCF，∴AE = BF

(2)连结AE,过点N作NH⊥AD,证明△MNH≌EAD

∴MN=AE

由勾股定理得AE=13, ∴MN=13

（3）8． 4n