Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）解方程x²-10x+16=0得其两根为x₁=2，x₂=8，根据题意可写出B（2，0）、C（0，8），由抛物线的对称性可得点A的坐标；把A，B，C三点坐标代入抛物线解析式即可求得抛物线的解析式．
（2）设BE边上的高为h，先求得△BEF∽△BAC，然后依据相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”，可得：BE边上的高：BA边上的高=BE：BA，求得h=8-m．最后依据S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF　即可求得．
（3）把（1）中求得的解析式转化成顶点式，即可求得S的最大值和此时E点坐标，从而判断出OC⊥EB且平分EB，即可求得△BCE为等腰三角形．

解答： 解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0），
∴A、B、C三点的坐标分别是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）．
∵点C（0，8）在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，
∴c=8，
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式y=ax²+bx+8，得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．

（2）如图，依题意，AE=m，则BE=8-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设BE边上的高为h，
由相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”，
得：BE边上的高：BA边上的高=BE：BA，
即h：OC=BE：BA，
∴h：8=（8-m）：8，
∴h=8-m．
∴S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF，
=

1

2

×8×8-

1

2

×8m-

1

2

（8-m）²，
化简整理得S=-

1

2

m²+4m　（0＜m＜8）；

（3）存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m²-8m+4²-4²）=-

1

2

（m-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值8，
S_最大值=8．
∵m=4，
∴AE=4，
∴点E的坐标为E（-2，0），
∵B（2，0），
∴OC⊥EB且平分EB，
∴△BCE为等腰三角形．

点评：本题考查了一元二次方程的解法以及抛物线的交点坐标的求法，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，三角形面积的应用以及函数的最值问题．