Question

1883年，德国数学家格奥尔格•康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，它的做法如下：
取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段再分别三等分，各去掉中间一段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩四条线段，分别三等分，分别去掉中间一段，余下八条线段，达到第3阶段；…；这样的操作一直继续下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，把这种分形，称作康托尔点集，如图是康托尔点集的最初几个阶段，当达到第5个阶段时，余下的线段的长度之和为

 

；当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为

 

．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．

解答：解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为

2

3

，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为

2

3

×

2

3

=（

2

3

）²，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为

2

3

×

2

3

×

2

3

=（

2

3

）³，
…
以此类推，
第五个阶段时，余下的线段的长度之和为（

2

3

）⁵，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（

2

3

）ⁿ．
故答案为：（

2

3

）⁵；（

2

3

）ⁿ．

点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．