[题目]如图.在△ABC中.∠ACB=90°.AC=4.BC=3.点E.F分别在AC.AB上.连接EF.(1)将△ABC沿EF折叠.使点A落在AB边上的点D处.如图1.若S四边形ECBD=2S△EDF.求AE的长,(2)将△ABC沿EF折叠.使点A落在BC边上的点M处.如图2.若MF⊥CB.①求AE的长,②求四边形AEMF的面积,(3)若点E在射线AC上.点F在边AB上.点A关于EF所在直线的对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点E、F分别在AC，AB上，连接EF.

（1）将△ABC沿EF折叠，使点A落在AB边上的点D处，如图1，若S四边形ECBD=2S△EDF，求AE的长；

（2）将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点M处，如图2，若MF⊥CB.

①求AE的长；②求四边形AEMF的面积；

（3）若点E在射线AC上，点F在边AB上，点A关于EF所在直线的对称点为点P，问：是否存在以PF、CB为对边的平行四边形，若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①，②；（3）或6.理由见解析.

【解析】

（1）先判断出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判断出Rt△AEF∽Rt△ABC，得出，代值即可得出结论；

（2）先判断出四边形AEMF是菱形，再判断出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出结论；

（3）分两种情况，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，最后用勾股定理即可得出结论.

（1）∵△ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB上的点D处，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF=S△DEF，

∵S四边形ECBD=2S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∵EF⊥AB，

∴∠AFE=∠ACB，

∴Rt△AEF∽△Rt△ABC，

∴，

即：，

∴；

（2）①∵△ABC沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，

∴AE=ME，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，

∴AE=EM=MF=AF，

∴四边形AEMF是菱形，

设AE=x，则EM=x，CE=4－x，

∵四边形AEMF是菱形，

∴EM∥AB，

∴△CME∽△CBA，

∴，

∴，，

即：，

②由①知，，，

∴；

（3）①如图3，当点E在线段AC上时，∵PF与CB是平行四边形的对边，

∴PF//CB，PF=CB，由对称性知，PF=AF，AE=PE，

∴PF=AF=BC=3，

设AE=PE=a，

∵PF∥CB，

∴△AOF∽△ACB，∠AOF=∠ACB=90°，

∴，

∴，，

在Rt△OPE中，，

∴，

即：；

②如图4，当点E在线段AC的延长线上时，延长PF交AC于O，

同理：，，

在Rt△OPE中，，

∴，

即：或6.

练习册系列答案

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