Question

【题目】已知三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是AC，AB上的点，连接EF．

（1）如图1，若将纸片ABC沿EF折叠，折叠后点A刚好落在AB边上点D处，且S△ADE=S四边形BCED，求ED的长；

（2）如图2，若将纸片ABC沿EF折叠，折叠后点A刚好落在BC边上点M处，且EM∥AB．

①试判断四边形AEMF的形状，并说明理由；

②求折痕EF的长．

Answer 1

【答案】（1）DE＝5；（2）①四边形AEMF是菱形，证明见解析；②

【解析】

（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF＝S△DEF，则易得S△ABC＝5S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；

（2）①根据四边相等的四边形是菱形证明即可；

②设AE＝x，则EM＝x，CE＝8x，先证明△CME∽△CBA得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF．

（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF＝S△DEF，

∵S△ADE＝S四边形BCDE，

∴S△ABC＝4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，

∴AC＝8，

∵∠EAF＝∠BAC，

∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

∴，即，

∴AE＝5(负值舍去)，

由折叠知，DE＝AE＝5．

（2）①如图2中，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，

∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，

∵ME∥AB，

∴∠AFE＝∠FEM

∴∠MFE＝∠FEM，

∴ME＝MF，

∴AE＝EM＝MF＝AF，

∴四边形AEMF为菱形．

②设AE＝x，则EM＝x，CE＝8x，

∵四边形AEMF为菱形，

∴EM∥AB，

∴△CME∽△CBA，

∴，

即，

解得x＝，CM＝，

在Rt△ACM中，AM＝，

∵S菱形AEMF＝EFAM＝AECM，

∴EF＝2×．