Question

【题目】如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直线上，点E在AD上，连接DG，BE．

（1）证明：BE＝DG；

（2）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，判断BE与DG的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝DG，BE⊥DG，理由见解析；（3）数量关系不成立即BE≠DG，DG＝2BE，理由见解析；位置关系成立，理由见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定可得△ABE≌△DAG（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）根据正方形的性质可知：AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，再根据同脚的余角相等得出∠BAE＝∠DAG，然后根据全等三角形的判定定理得出△ABE≌△DAG（SAS）再由全等三角形的性质定理可得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG；延长BE交AD于T，交DG于H．进而得出∠DHB=90°，即BE⊥DG．

（3）根据四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，则△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的性质即可得出结论．

解：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG；

（2）BE＝DG，BE⊥DG．

如图1中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG；∠ABE＝∠ADG，

延长BE交AD于T，交DG于H．

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG．

（3）数量关系不成立，它们的数量关系为DG＝2BE，位置关系成立．

如图2中，延长BE交AD于T，交DG于H．

∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，

∴∠BAD＝∠DAG，

∴∠BAE＝∠DAG，

∵AD＝2AB，AG＝2AE，

∴，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE＝∠ADG，，

∴DG＝2BE，

∵∠ATB+∠ABE＝90°，

∴∠ATB+∠ADG＝90°，

∵∠ATB＝∠DTH，

∴∠DTH+∠ADG＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BE⊥DG．