Question

19．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（-1，-1），半径为$\sqrt{2}$，点Q是函数y=$\frac{1}{x}$的图象上一动点，过点Q作⊙P的切线QT，切点为T，则线段QT长度的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 4

Answer 1

分析 连接PT、PQ，由切线的性质可知△QTP为直角三角形，由PT为定值可知当QP有最小值时，线段QT长度的值最小．

解答 解：连接PT、PQ．

∵QT是⊙P的切线，
∴QT⊥PT．
∴QT=$\sqrt{Q{P}^{2}-T{P}^{2}}$．
设点Q的坐标为（x，$\frac{1}{x}$）．
则QT=$\sqrt{（x+1）^{2}+（\frac{1}{x}+1）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}}$
当x=$\frac{1}{x}$时，$\sqrt{{x}^{2}+2x+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}}$有最小值．
解得：x=±1．
∵点Q为与第一象限，
∴x=1．
∴线段QT长度的最小值=$\sqrt{{1}^{2}+2×1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{2}{1}}$=$\sqrt{6}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是切线的性质、勾股定理的应用，明确当x=$\frac{1}{x}$时线段QT长度存在最小值是解题的关键．