Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）连接MD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MD=MC，然后利用“边边边”证M明△MFC与△MAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MAD=∠MFC，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD，然后求出∠BAM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明；
（2）根据全等三角形对应角相等和轴对称的性质可得∠BMP=∠FMD=∠DMA，然后用∠BMP表示出∠FCM，再根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得解．

解答：（1）证明：连接MD，
∵点E是CD的中点，ME⊥D，
∴MD=MC，
在△MFC与△MAD中，

MF=MA MC=MD CF=AD

，
∴△MFC≌△MAD（SSS），
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠BAM=∠MAD-∠BAD=120°-90°=30°，
∵∠ABM=90°，
∴AM=2MB；

（2）解：2∠MPB+∠FCM=180°．
理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，
∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，
∴∠BMP=

1

2

∠FCM，
∵∠ABC=90°，
∴∠MPB+∠BMP=90°，
∴∠MPB+

1

2

∠FCM=90°，
∴2∠MPB+∠FCM=180°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．