Question

已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．

（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC•AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OB，OP．

∵O是等边三角形BPQ的外心，

∴圆心角∠BOP==120°．

当∠MAN=60°，不垂直于AM时，作OT⊥AN，则OB=OP．

由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，

∴∠HOT=120度．

∴∠BOH=∠POT．

∴Rt△BOH≌Rt△POT．

∴OH=OT．

∴点O在∠MAN的平分线上．

当OB⊥AM时，∠APO=360°﹣∠A﹣∠BOP﹣∠OBA=90°．

即OP⊥AN，

∴点O在圆I的平分线上．

综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上．

（2）解：如图2，

∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，

∴∠BAO=∠PAO=30°．

由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，

∴∠CBO=30°，

∴∠CBO=∠PAC．

∵∠BCO=∠PCA，

∴∠AOB=∠APC．

∴△ABO∽△ACP．

∴．

∴AC•AO=AB•AP．

∴y=4x．

定义域为：x＞0．

（3）解：①如图3，当BP与圆I相切时，AO=2；

②如图4，当BP与圆I相切时，AO=；

③如图5，当BQ与圆I相切时，AO=0．