Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．

（1）几秒后P、Q两点相距25cm？

（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？

（3）设△CPQ的面积为S₁，△ABC的面积为S₂，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S₁：S₂=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

　

　

Answer 1

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；

（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；

（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，

则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由题意得，（2x）²+（25﹣x）²=25²，

解得，x₁=10，x₂=0（舍去），

则10秒后P、Q两点相距25cm；

（2）设y秒后△PCQ与△ABC相似，

当△PCQ∽△ACB时，=，即=，

解得，y=，

当△PCQ∽△BCA时，=，即=，

解得，y=，

故秒或秒后△PCQ与△ABC相似；

（3）△CPQ的面积为S₁=×CQ×CP=×2t×（25﹣t）=﹣t²+25t，

△ABC的面积为S₂=×AC×BC=375，

由题意得，5（﹣t²+25t）=375×2，

解得，t₁=10，t₂=15，

故运动10秒或15秒时，S₁：S₂=2：5．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．