Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠B的平分线与AD，AC交于E，F，
求证：BE•EF=2AE•DE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由条件∠BDE=∠BAF=90°，∠DBE=∠ABF（角平分线），可得∠BED=∠BFA，而∠BED=∠AEF，可证得△AEF是等腰三角形，作AG⊥EF于G，则EF=2EG，证得△AGE∽△BDE，则有BE•EG=AE•DE，而EG=

1

2

EF，代入可证得结论．

解答：证明：∵∠BDE=∠BAF=90°，∠DBE=∠ABF（角平分线），
∴∠BED=∠BFA
而∠BED=∠AEF，故有∠AEF=∠BFA，△AEF是等腰三角形．

作AG⊥EF于G，则EF=2EG，
且∠EAG=

1

2

∠DAC=

1

2

∠CBA=∠EBD，
又∵∠AGE=∠BDE=90°，
∴△AGE∽△BDE，
∴AE：EG=BE：DE，
即BE•EG=AE•DE，
而EG=

1

2

EF，
则BE•EF=2AE•DE．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△AEF是等腰三角形，从而找到EF和EG之间的关系，再利用相似找到比例关系．