Question

在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，如图1，当∠BAD=120°，∠ABD与∠ADC互补时，可得结论BC=AB+AD．
（1）如图2，当∠BAD=60°，∠ABD与∠ADC互补时，线段BC、AB、AD有怎样数量关系？写出你的猜想并给予证明．
（2）如图3，当∠BAD=45°，∠ABD与∠ADC互补时，线段BC、AB、AD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作DE⊥AB，BF⊥BC的延长线，垂足分别为E、F．在BE上取一点G，使EG=CF，连结GD，由角平分线的性质就可以得出DE=DF，就可以得出△AED≌△CFD，就有AE=CF，得出AE=GE，就有AD=GD，由∠A=60°就可以得出△AGD是等边三角形，进而得出AG=AD，得出结论AB=BC+AD；
（2）作DE⊥AB，BF⊥BC的延长线，垂足分别为E、F．在BE上取一点G，使EG=CF，连结GD，由角平分线的性质就可以得出DE=DF，就可以得出△AED≌△CFD，就有AE=CF，得出AE=GE，就有AD=GD，由∠A=45°就可以得出△AGD是等腰直角三角形，AG=

2

AD，从而得出结论AB=BC+

2

AD．

解答：解：（1）AB=BC+AD．
理由：作DE⊥AB，BF⊥BC的延长线，垂足分别为E、F．在BE上取一点G，使EG=CF，连结GD，
∴∠AED=∠BED=∠BFD=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴EG=CF，∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD+∠ADC=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
∵∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中，

∠A=∠DCF ∠AED=∠BFD DE=DF

，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=CF，
∴GE=AE．
∴AD=GD．
∵∠A=60°，
∴△AGD是等边三角形．
∴AD=AG．
在△ADG和△ADF中，

∠ABD=∠CBD ∠BED=∠BFD BD=BD

，
∴△ADG≌△ADF（AAS），
∴BE=BF．
∴BE-GE=BF-CF，
∴BG=BC．
∵AB=BG+AG，
∴AB=BC+AD．
（2）AB=BC+

2

AD．
理由：作DE⊥AB，BF⊥BC的延长线，垂足分别为E、F．在BE上取一点G，使EG=CF，连结GD，
∴∠AED=∠BED=∠BFD=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴EG=CF，∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD+∠ADC=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
∵∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中，

∠A=∠DCF ∠AED=∠BFD DE=DF

，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=CF，
∴GE=AE．
∴AD=GD．
∴∠A=∠AGD，
∵∠A=45°，
∴∠AGD=45°，
∴∠ADG=90°
∴△AGD是等腰直角三角形．
∴AG=

2

AD．
在△ADG和△ADF中，

∠ABD=∠CBD ∠BED=∠BFD BD=BD

，
∴△ADG≌△ADF（AAS），
∴BE=BF．
∴BE-GE=BF-CF，
∴BG=BC．
∵AB=BG+AG，
∴AB=BC+

2

AD．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，四边形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．