Question

【题目】（Ⅰ）如图1，在菱形中，已知，，抛物线（）经过，，三点．

（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________；

（2）求抛物线的解析式．

（Ⅱ）如图2，点是的中点，点是的中点，直线垂直于点，点在直线上．

（3）当的值最小时，则点的坐标为____________；

（4）在（3）的条件下，连接、、得，问在抛物线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M点的坐标为、、

【解析】

（Ⅰ）（1）过点B和点C分别是x轴的垂线于H和N，结合菱形的性质和，，即可求出AH，和BH及ON的长度，B点和C点坐标即可得出；

（Ⅰ）（2）把，，三点坐标代入抛物线，即可求得；

（Ⅱ）（3）由题意知AG即为抛物线的对称轴，C点的对称点为B，连接OB，（见详解图），OB与AG的交点即为P点，的最小值即为OB长度，求出OB的直线解析式，即可求出P点坐标；

（Ⅱ）（4）由题意可知PE=PF，EF∥BC∥OD，进一步可知△PEF是底角为30°，顶角为120°的等腰三角形，设AG与抛物线交点为Q点（即为顶点），D点为O点关于对称轴的对称点，连接OB，CD，CQ，BQ，BD，再结合菱形中∠OCB=120°角，可知点O、点Q和点D即为所求M点。

（Ⅰ）（1）过点B和点C分别是x轴的垂线于H和N，

∵，，结合菱形的性质，

∴，,

∴B点坐标为，C点坐标为，

故答案为：， ；

（Ⅰ）（2）将O点坐标，B点，C点坐标三点坐标代入抛物线，可得：

∴抛物线解析式为：

（Ⅱ）（3）由题意知AG为抛物线的对称轴，C点的对称点为B，连接OB，OB与AG的交点即为P点，的最小值即为OB长度，

设OB直线为，将O点和B点坐标代入，求得：，

令，y=2，

所以P点坐标为：

（Ⅱ）（4）设AG与抛物线交点为Q点（即为顶点），D点为O点关于对称轴的对称点，连接OB，CD，CQ，BQ，BD，

∵点是的中点，点是的中点

∴可知PE=PF，EF∥BC∥OD，

∴△PEF是底角为30°，顶角为120°的等腰三角形，

在△COB与△BCD中，OC=CB=BD，∠OCB=∠CBD=120°，

∴△COB≌△BCD∽△PEF

故O点（0，0）和D点即满足M点要求；

另在△QCB中，∠QCB=∠BOD=30°，QC=QO，

∴△QCB∽△PEF，

故Q点也满足M点要求，

故M点的坐标为：、、．

故答案为：（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M点的坐标为、、