Question

10．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α=2sinα．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．

解答 解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=α．
则sinα+cosα=$\frac{AB}{AC}$+$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AC+BC}{AC}$＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：
假设α=30°，则sin2α=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2sinα=2sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α=2sinα不成立．

点评 本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．