【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3,则下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③3a+2c>0;④对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥0,正确个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
由抛物线开口方向得到a>0,利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1,即﹣=1,所以b=﹣2a<0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0,则可对①进行判断;利用b=﹣2a可对②进行判断;由于x=﹣1时,y=0,所以a﹣b+c=0,则c=﹣3a,3a+2c=﹣3a<0,于是可对③进行判断;根据二次函数性质,x=1时,y的值最小,所以a+b+c≤ax2+bx+c,于是可对④进行判断.
解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为(﹣1,0),(3,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,即﹣=1,
∴b=﹣2a<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴abc>0,所以①错误;
∵b=﹣2a,
∴2a+b=0,所以②正确;
∵x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,即a+2a+c=0,
∴c=﹣3a,
∴3a+2c=3a﹣6a=﹣3a<0,所以③错误;
∵x=1时,y的值最小,
∴对于任意x,a+b+c≤ax2+bx+c,
即ax2﹣a+bx﹣b≥0,所以④正确.
故选:B.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,3),与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
①b2+4ac>0;②c﹣a=3;③a+b+c<0;④方程ax2+bx+c=m(m≥2)一定有实数根,其中正确的结论为( )
A.②③ B.①③ C.①②③ D.①②④
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【题目】在慈善一日捐活动中,学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计,并绘制成下面的统计图.
(1)这50名同学捐款的众数为 元,中位数为 元;
(2)该校共有600名学生参与捐款,请估计该校学生的捐款总数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是__.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=6cm,AC=8cm.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动,点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动,当点P到达点A时,点Q也随之停止运动.设运动时间为t(s),当△APQ是直角三角形时,t的值为___________.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B(点A在点B的左侧).
(1)求A、B的坐标;
(2)利用函数图象,写出y<0时,x的取值范围.
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【题目】将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上,且AC与⊙O相切于点A(如图1),将△ABC从点A开始,绕着点A顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α<135°),旋转后,AC、AB分别与⊙O交于点E,F,连接EF(如图2).已知AC=8,⊙O的半径为4.
(1)在旋转过程中,有以下几个量:①弦EF的长;②的长;③∠AFE的度数;④点O到EF的距离.其中不变的量是___________________(填序号);
(2)当α=________°时,BC与⊙O相切(直接写出答案);
(3)当BC与⊙O相切时,求△AEF的面积.
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【题目】如图,将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平,恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH,若EH=5,EF=12,则矩形ABCD的面积是( )
A. 13 B. C. 60 D. 120
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