Question

9．我们常常用符号f（x）表示x的函数，例如函数f（x）=x²-2x+1，则f（3）=3²-2x+1=4．
对于函数f（x），若存在a，b，f（x）满足以下条件：
①当a＜x＜x₀时，随着x的增大，函数值f（x）增大；
②当x₀＜x＜b时，随着x的增大，函数值f（x）减小，则称f（x₀）为f（x）的一个峰值．
（1）判断函数f（x）=x+1是否具有峰值；
（2）求函数f（x）=x²+4x+1的峰值；
（3）已知m为非零实数，当x≤m时，函数y=m（x-1）²+2m²的图象记为T₁：当x＞m时，函数y=（m²-1）x+2m的图象记为T₂：图象T₁，T₂组成图象T．图象T所对应的函数记为f（x），若f（x）存在峰值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由一次函数的性质可知函数f（x）=x+1在其值域内单调递增，故不存在峰值；
（2）结合二次函数的性质可知，抛物线的顶点为它的峰值；
（3）结合系数的关系，可将整个x的取值分五段考虑，结合一次函数与二次函数的性质和图象即可得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=x+1在其值域内单调递增，
故函数f（x）=x+1没有峰值．
（2）函数f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，结合二次函数图象可知：
当x＜-2时，函数图形递减；当-2＜x时，函数图象递增．
故f（-2）为函数f（x）=x²+4x+1的峰值，
f（-2）=（-2+2）²-3=3，
答：函数f（x）=x²+4x+1的峰值为-3．
（3）根据x-1=0、m=0和m²-1=0，将整个x的取值分五段考虑．
①当m＜-1时，即m＜0，m²-1＞0，
此时图象T₁单调递增；图象T₂单调递增．
故当m＜-1时，图象T所对应的函数f（x）无峰值；
②当m=±1时，图象T₂为平行x轴的一条射线，即在此区间f（x）为定值，
故当m=±1时，图象T所对应的函数f（x）无峰值；
③当-1＜m＜0时，即m＜0，m²-1＜0，
此时图象T₁单调递增；图象T₂单调递减．
且当x=m时，y=m（m-1）²+2m²=m³+m；y=（m²-1）m+2m=m³+m，即图象T在m处连续．
故当-1＜m＜0时，函数f（x）存在峰值f（m）．
④当0＜m＜1时，即m＞0，m²-1＜0，
此时图象T₁单调递减；图象T₂单调递减．
故当0＜m＜1时，图象T所对应的函数f（x）无峰值；
⑤当1＜m时，结合二次函数y=m（x-1）²+2m²（x≤m）的图象T₁可知：
当x＜1时，函数f（x）单调递减；当1＜x≤m时，函数f（x）单调递增．
即f（1）是函数f（x）的峰值．
故当1＜m时，图象T所对应的函数记为f（x）有峰值f（1）．
综上可知：若f（x）存在峰值，实数m的取值范围为-1＜m＜0或1＜m．

点评 本题考查了一次函数和二次函数的性质，解题的关键：（1）一次函数具有单调性；（2）熟悉二次函数的性质；（3）分段考虑，并将一次函数与二次函数性质相结合．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）具有一定的难度，主要在于将m分类讨论，失分点在于当-1＜m＜0时，要得出函数图象T在m处连续．