Question

在平面直角坐标系中，点A是抛物线M：y=a（x-3）²+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的顶点C刚好和抛物线的顶点重合，将抛物线M沿x轴翻折后得到抛物线N，抛物线N的顶点落在了线段AB上，则抛物线N的解析式

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：根据二次函数解析式求出对称轴，然后求出AB，再根据等边三角形的性质求出△ABC的高，然后写出顶点C的坐标，再写出点A的坐标，然后求出抛物线M的解析式，再根据关于x轴的对称点的坐标特征写出抛物线N的顶点坐标，然后写出抛物线解析式即可．

解答：解：y=a（x-3）²+k的对称轴为直线x=3，
∵AB∥x轴，
∴AB=3×2=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴三角形的高为6×

3

2

=3

3

，
∵抛物线M沿x轴翻折后得到抛物线N，抛物线N的顶点落在了线段AB上，
∴点C的坐标为（3，-

3 3

2

），点A（0，

3 3

2

），
代入抛物线M得，k=-

3 3

2

，a（0-3）²+k=

3 3

2

，
解得a=

3

3

，
所以，抛物线M的解析式为y=

3

3

（x-3）²-

3 3

2

，
∵点C关于x轴的对称点在线段AB上，
∴抛物线N的顶点坐标为（3，

3 3

2

），
∴抛物线N的解析式为y=-

3

3

（x-3）²+

3 3

2

．
故答案为：y=-

3

3

（x-3）²+

3 3

2

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，等边三角形的性质，难点在于求出AB的长度并确定出顶点C的坐标，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．