【题目】二次函数的顶点M是直线和直线y=x+m的交点.
(1)若直线y=x+m过点D(0,-3),求M点的坐标及二次函数的解析式;
(2)试证明无论m取任何值,二次函数的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点;
(3)在(1)的条件下,若二次函数的图象与y轴交于点C,与x的右交点为A,试在直线上求异于M的点P,使P在△CMA的外接圆上.
【答案】(1) M(2,-1),;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)根据题意求出m,解方程组求出M点坐标,根据二次函数的性质求出p、q,得到二次函数的解析式;
(2)根据一元二次方程根的判别式进行判断;
(3)根据二次函数的性质求出点C的坐标、点A的坐标,根据勾股定理求出CM,根据勾股定理的逆定理判断△CMA是直角三角形,根据三角形的外接圆的性质计算.
(1)把D(0,-3)坐标代入直线中,
得,从而得直线,
由M为直线与直线的交点,
得,
解得,,
∴得M点坐标为M(2,-1),
∵M为二次函数的顶点,
∴其对称轴为,
由对称轴公式:,
得,
∴;
由,
,
解得,.
∴二次函数的解析式为:;
(2)∵M是直线和的交点,
∴,
解得,,
∴M点坐标为,
∴,
解得,,
由,
得,
,
∴二次函数的图象与直线总有两个不同的交点;
(3)由(1)知,二次函数的解析式为:,
当时,y=3.
∴点C的坐标为C(0,3),
令y=0,即,
解得,
∴点的坐标为A(3,0),
由勾股定理,得.
∵点的坐标为M(2,-1),
过点作x轴的垂线,垂足的坐标应为(2,0),
由勾股定理得,,
过点作y轴的垂线,垂足的坐标应为(0,-1),
由勾股定理,得.
∵,
∴△CMA是直角三角形,
CM为斜边,.
直线与△CMA的外接圆的一个交点为M,另一个交点为P,
则.即△CPM为Rt△,
设P点的横坐标为x,则P(,).过点P作x轴垂线,
过点作y轴垂线,两条垂线交于点E,则E(x,-1).
过P作轴于点F,则F(0,).
在中,
.
在中,
.
在中,,
得,
化简整理得,
解得.
当时,y=-1,即为M点的横、纵坐标.
∴P点的横坐标为,纵坐标为,
∴.
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【题目】如图,直线y=x,点A坐标为(1,0),过点A作x轴的垂线交直线于点,以原点O为圆心,OB 长为半径画弧交x轴于点A;再过点A作x轴的垂线交直线于点B,以原点O为圆心,OB 长为半径画弧交x轴于点A ,…,按此做法进行下去,点A 的坐标为___.
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上,
(1)在图①中画出以线段AB为一条边的菱形ABEF,点E、F在小正方形顶点上,且菱形ABEF的面积为20;
(2)在图②中画出以CD为对角线的矩形CGDH,G、H点在小正方形顶点上,点G在CD的下方,且矩形CGDH的面积为10,CG>DG.并直接写出矩形CGDH的周长.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于点A,B,若点B的坐标为.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)若是轴上一点,,将点Q绕着点P逆时针方向旋转90得到点E.
①用含t的式子表示点的坐标;
②当点E恰好在该抛物线上时,求t的值.
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【题目】某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验,结果如下表所示:
种子个数n | 1000 | 1500 | 2500 | 4000 | 8000 | 15000 | 20000 | 30000 |
发芽种子个数m | 899 | 1365 | 2245 | 3644 | 7272 | 13680 | 18160 | 27300 |
发芽种子频率 | 0.899 | 0.910 | 0.898 | 0.911 | 0.909 | 0.912 | 0.908 | 0.910 |
一般地,该种作物种子中大约有多少是不能发芽的?
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【题目】若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,且关于x的方程的解为整数,则满足条件的所有整数a的和是_____.
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【题目】探究:已知二次函数经过点.
(1)求该函数的表达式;
(2)如图所示,点是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点的横坐标为,连接,,.
①求的面积关于的函数关系式;
②求的面积的最大值,并求出此时点的坐标.
拓展:在平面直角坐标系中,点的坐标为,的坐标为,若抛物线与线段有两个不同的交点,请直接写出的取值范围.
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【题目】矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为数___________.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
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