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【题目】探究:

1)如图1,在ABCADE中,ABACADAE,∠BAC=∠DAE90°,连结BDCE.请写出图1中所有全等的三角形: (不添加字母).

2)如图2,已知ABCABAC,∠BAC90°是过A点的直线,CNBM,垂足为NM.求证:ABMCAN

解决问题:

3)如图3,已知ABC,ABAC,BAC90°,D在边BC,DADE,ADE 90°

求证:ACCE

【答案】1)△ABD≌△ACE;(2)见详解;(3)见详解.

【解析】

1)由∠DAB+BAE=BAE+EAC=90°,得到∠DAB=EAC,然后结合ABACADAE,即可证明ABD≌△ACE

2)由同角的余角相等,得到∠BAM=CAN,结合条件AB=AC,∠AMB=ANC=90°,即可证明ABMCAN

3)作AHBCHEGBCG,由△ABC是等腰直角三角形,则AH=BH=CH,由∠DAH=EDG,得到△ADH≌△DEG,则DG=AH=CHDH=EG,则DH+HG=HG+GC,得到EG=CG,则得到∠ECG=45°,则∠ACE=90°,即可得到结论成立.

证明:(1)∵∠DAB+BAE=DAE=90°,∠BAE+CAE=BAC=90°,

∴∠BAD=CAE

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACESAS);

故答案为:△ABD≌△ACE

2)∵∠CAN+ACN=90°,∠CAN+BAM=90°,

∴∠ACN=BAM

在△ABM和△CAN中,

∴△ABM≌△CANAAS);

3)如图:作AHBCHEGBCG,则∠AHD=DGE=90°,

∵△ABC是等腰直角三角形,

AH=BH=CH,∠ACB=45°,

∵∠ADH+DAH=ADH+EDG=90°,

∴∠DAH=EDG

AD=DE

∴△ADH≌△DEG

DG=AH=CHDH=EG

DH+HG=HG+GC

DH=CG=EG

∴△CEG是等腰直角三角形,

∴∠ECG=45°,

∴∠ACE=ACB+ECG=45°+45°=90°,

ACCE.

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