【题目】在菱形中,
为直线
上的点,
为直线
上的点,分别连接
,
,且
.
(1)若,点
在线段
上,点
在线段
的延长线上,如图①,易证:
(不需证明);
(2)如图②,若∠B=120°,点在线段
上,点
在线段
的延长线上,如图③,猜想线段
,
和
之间有怎样的数量关系?请直接写出对图②,图③的猜想,并选择其中一种情况给予证明.
【答案】(1)见解析;(2)②结论:;③结论:
,证明见解析
【解析】
(1)连接AC,过P作PE∥CD交AC于E,由四边形ABCD是菱形,∠B=60°,得出△ACD是等边三角形,∠PDQ=120°,由PE∥CD,得出△APE是等边三角形,∠PEC=120°,由AAS证得△PCE≌△PQD,得出PE=DQ,AP=DQ,即可得出结论;
(2)①结论:.如图②中,延长
到
,使得
,连接
.只要证明
是等边三角形,
即可解决问题;
②结论:.如图③中,在
上截取
,连接
.只要证明
是等边三角形,
即可解决问题;
解:(1)证明:连接AC,过P作PE∥CD交AC于E,如图①所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD=AB,∠ADC=∠B=60°,
∴△ACD是等边三角形,∠PDQ=120°,
∴AC=AD,∠DAC=∠ACD=60°,
∵PE∥CD,
∴∠AEP=∠ACD=60°,∠APE=∠ADC=60°,
∴△APE是等边三角形,∠PEC=120°,
∴AE=PE=AP,
∵PC=PQ,
∴∠PCQ=∠Q,
∵∠ACD=∠ECP+∠PCQ,∠ADC=∠DPQ+∠Q,
∴∠ECP=∠DPQ,
在△PCE和△PQD中,
,
∴△PCE≌△PQD(AAS),
∴PE=DQ,
∴AP=DQ,
∴DQ+PD=AP+PD=AD=AB;
(2)②结论:.
理由:如图②中,延长到
,使得
,连接
.
四边形
是菱形,
,
,
都是等边三角形,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
③结论:.
理由:如图③中,在上截取
,连接
.
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点,
,
,
均在格点上,点
是在直线
上的动点,连
,点
是点
关于直线
的对称点.
(1)在图①中,当(点
在点
的左侧)时,计算
的值等于______.
(2)当取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度的直尺画出点
,并简要说明点
的位置是如何找到的.(不要求证明)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中,0为坐标原点,点A在y轴上,点C在x轴上,点B的坐标是(8,6),点P是边AB上的一个动点,将△OAP沿OP折叠,使点A落在点Q处.
(1)如图①,当点Q恰好落在OB上时.求点p的坐标;
(2)如图②,当点P是AB中点时,直线OQ交BC于M点.
①求证:MB=MQ;②求点Q的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校举办朗诵比赛,比赛结束后,对学生的成绩进行了统计.绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)参加这次比赛的人数为 ,图①中的值为 ;
(2)求统计的这组学生朗诵比赛成绩数据的平均数、众数和中位数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=+2,D是边AC上的动点,BD的垂直平分线交BC于点E,连接DE,若△CDE为直角三角形,则BE的长为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我市在创建全国文明城市过程中,决定购买A,B两种树苗对某路段道路进行绿化改造,已知购买A种树苗8棵,B种树苗3棵,需要950元;若购买A种树苗5棵,B种树苗6棵,则需要800元.
(1)求购买A,B两种树苗每棵各需多少元?
(2)考虑到绿化效果和资金周转,购进A种树苗不能少于48棵,且用于购买这两种树的资金不能超过7500元,若购进这两种树苗共100棵,则有哪几种购买方案?
(3)某包工队承包种植任务,若种好一棵A种树苗可获工钱30元,种好一棵B种树苗可获工钱20元,在第(2)问的各种购买方案中,种好这100棵树苗,哪一种购买方案所付的种植工钱最少?最少工钱是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某县政府计划拨款34000元为福利院购买彩电和冰箱,已知商场彩电标价为2000元/台,冰箱标价为1800元/台,如按标价购买两种家电,恰好将拨款全部用完.
(1)问原计划购买的彩电和冰箱各多少台?
(2)购买的时候恰逢商场正在进行促销活动,全场家电均降价进行销售,若在不增加县政府实际负担的情况下,能否比原计划多购买3台冰箱?请通过计算回答.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点是
轴非负半轴上的动点,点
坐标为
,
是线段
的中点,将点
绕点
顺时针方向旋转90°得到点
,过点
作
轴的垂线,垂足为
,过点
作
轴的垂线与直线
相交于点
,连接
,
,设点
的横坐标为
.
(1)当时,求点
的坐标;
(2)设的面积为
,当点
在线段
上时,求
与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(3)当为何值时,
取得最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求a,k的值及点B的坐标;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,直接写出点P的坐标.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com