Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE，交CD于点M，连接OM，取OM的中点F，连接EF．

①根据题意补全图形；

②若∠ACD=30°，请用等式表示线段CM、DE、EF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；②DE2+CM2=4EF2．证明见解析.

【解析】

（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．

（2）①根据要求图形即可．

②线段CM、DE、EF之间的数量关系是：DE2+CM2=4EF2．取CM的中点P，连接PF，PE，OE，首先证明四边形AOED是菱形，推出PM是△OCD的中位线，再根据勾股定理即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分，

∴OC=OD，

∵△COD关于CD的对称图形为△CED，

∴OD=ED，EC=OC，

∴OD=ED=EC=OC，

∴四边形OCED是菱形．

（2）①如图．

②线段CM、DE、EF之间的数量关系是：DE2+CM2=4EF2．

证明：取CM的中点P，连接PF，PE，OE，

∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°

∵∠ACD=30°，

∴∠OAD=∠ADC-∠ACD=60°

∵AO=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴AD=AO，

∵四边形OCED是菱形，

∴DE=OC，∠OCD=∠ECD=30°，OD∥EC，

∴四边形AOED是菱形，

∴AE⊥OD，

∴EN⊥CE，即∠NEC=90°，

∵PM是△OCD的中位线，

∴PF=OC，PF∥OC，

∴∠OCD=∠FPM=30°，

∵P是CM的中点，

∴PE=PC=MC，

∴∠PCE=∠PEC=30°，

∴∠EPM=30°，

∴∠FPE=∠EPM+∠FPM=90°，

根据勾股定理得：PE2+PF2=EF2，

即：（CM）2+（OC）2=EF2，

∴DE2+CM2=4EF2．