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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5x轴交于A(-10)B(50)两点,与y轴交与点C.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点Dy轴上的点,且以BCD为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;

(3)如图2CE//x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BCCE分别相交于点FG,试探求当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积.

【答案】(1)y=x2-4x-5(2)D点坐标为(01)(0)(3)H();四边形CHEF的最大面积为.

【解析】

1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式;
2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;
3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;

解:(1)A(-10)B(50)代入y=ax2+bx-5可得

,解得

二次函数的解析式为y=x2-4x-5.

(2) 如图1,x=0,则y=5

C(0,5)

OC=OB

∴∠OBC=OCB=45°

AB=6,BC=5

要使以B,C,D为顶点的三角形与ABC相似,则有

时,

CD=AB=6

D(0,1)

时,

CD=

D(0, )

即:D的坐标为(0,1)(0, )

(3)H(tt2-4t-5)

x轴,

又因为点E在抛物线上,即 ,解得(舍去)

BC所在直线解析式为y=x-5,

CE是定值,

∴当HF的值最大时,四边形CHEF有最大面积。

时,HF取得最大值,四边形CHEF的最大面积为

,

此时H()

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