【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交与点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点D是y轴上的点,且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;
(3)如图2,CE//x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F,G,试探求当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积.
【答案】(1)y=x2-4x-5;(2)D点坐标为(0,1)或(0,);(3)H(,);四边形CHEF的最大面积为.
【解析】
(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式;
(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;
(3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;
解:(1)把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx-5可得
,解得
二次函数的解析式为y=x2-4x-5.
(2) 如图1,令x=0,则y=5,
∴C(0,5),
∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴AB=6,BC=5,
要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或,
当时,
CD=AB=6,
∴D(0,1),
当时,
∴,
∴CD=,
∴D(0, ),
即:D的坐标为(0,1)或(0, );
(3)设H(t,t2-4t-5)
∥x轴, ,
又因为点E在抛物线上,即 ,解得(舍去)
∴BC所在直线解析式为y=x-5,
∴ 则,
而CE是定值,
∴当HF的值最大时,四边形CHEF有最大面积。
当时,HF取得最大值,四边形CHEF的最大面积为
,
此时H(,)
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【题目】某商场经营某种品牌的童装,购进时的单价是元.根据市场调查,在一段时间内,销售单价是元时,销售量是件.而销售单价每降低元,就可多售出件.
求出销售该品牌童装获得的利润元与销售单价元之间的函数关系式;
若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于元,且商场要完成不少于件的销售
任务,则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元?
如果要使利润不低于元,那么销售单价应在什么取值范围内?
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【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,其中点A(5,4),B(1,3),将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1;
(2)在旋转过程中点B所经过的路径长为______;
(3)求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和.
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【题目】如图,中,,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且.
(1)如图1,当时,线段AG和CF的数量关系是 .
(2)如图2,当时,猜想线段AG和CF的数量关系,并加以证明.
(3)若,,,请直接写出CF的长.
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【题目】(1)如图,正方形的边,分别在正方形的边,上.
填空:和的数量关系是 和的位置关系是 .
(2)把正方形绕点旋转到如图位置,(1)中的结论是否成立?若成立,写成证明过程,若不存在,请说明理由.
(3)设正方形的边长为4,正方形的边长为,正方形绕点旋转过程中,若、、三点共线,求的长.(直接写出结果)
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