Question

【题目】如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F为AD的中点，EF∥CD.现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点D靠在墙上，O为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度AD＝30cm，宽度AB＝50cm.

(1)图②中，EC＝________cm，当点D与点O重合时，AO的长为________cm；

(2)若∠CDO＝60°，求AO的长(结果取整数值，参考数据：sin60°≈0.87，cos60°＝0.5，tan60°≈1.73，可使用科学计算器)．

Answer 1

【答案】(1)15，100(2)101cm

【解析】试题分析: （1）根据EC＝BC＝AD，AO＝AB＋CD＝2AB即可解决问题．

（2）过点C作OA的平行线，分别交BE和OD于H，G，根据∠CDO＝60°，分别求出CG、HC，即可解决问题．

试题解析:

(1)根据图①，EF∥AB∥CD，F为AD的中点，∴DF＝AF，∴EC＝EB＝BC＝AD＝15cm.根据图②，当点D与点O重合时，BO＝CD.∵CD＝AB＝50cm，∴AO＝AB＋BO＝AB＋CD＝50＋50＝100(cm)．

故答案为15,100.

(2)过点C作OA的平行线，分别交BE和OD于H，G.

∵EB⊥OA，OD⊥OA，

又∵∠O＝90°，

∴四边形BOGH是矩形．

∴BO＝HG＝HC＋CG.

∵∠CGD＝∠ECD＝90°，∠CDO＝60°，

∴∠DCG＝90°－∠CDG＝30°，

∴∠ECH＝180°－∠ECD－∠DCG＝180°－90°－30°＝60°.

在Rt△CDG和Rt△ECH中，CD＝50cm，EC＝15cm，

∴HC＝EC·cos∠ECH＝7.5cm，

CG＝CD·sin∠CDG≈50×0.87＝43.5(cm)，

∴AO＝AB＋BO＝AB＋HC＋CG≈101cm.

点睛: 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线解决问题，通过添加辅助线构造直角三角形以及特殊四边形，属于中考常考题型．