Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，3）、（-4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A₁B₁，点A的对应点为A₁，点B₁的坐标为（0，2），在将线段A₁B₁绕原点O顺时针旋转90°得到线段A₂B₂，点A₁的对应点为点A₂．
（1）画出线段A₁B₁、A₂B₂；
（2）求在这两次变换过程中，点A经过的路线的长度；
（3）求在这两次变换过程中线段AB所扫过的面积．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,弧长的计算,扇形面积的计算,作图-平移变换

专题：作图题

分析：（1）根据网格结构找出点A、B平移后的对应点A₁、B₁的位置，然后连接即可；再找出点A₂、B₂的位置，然后连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AA₁，OA₁，再利用弧长公式列式计算即可得解；
（3）根据AB扫过的面积等于平行四边形的面积加上两个扇形的面积的差，列式计算即可得解．

解答：解：（1）线段A₁B₁、A₂B₂如图所示；

（2）由勾股定理得，AA₁=

12+42

=

17

，
OA₁=

32+42

=5，
点A经过的路线的长度=

17

+

90•π•5

180

=

17

+

5

2

π；

（3）AB向右平移3个单位，向上平移1个单位，
AB平移到A₁B₁扫过的面积=3×1=3，
线段A₁B₁旋转到A₂B₂所扫过的面积=

90•π•52

360

=

25

4

π，
所以，这两次变换过程中线段AB所扫过的面积为

25

4

π+3．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变化作图，弧长的计算，扇形的面积，难点在于（3）中线段扫过的面积的计算．