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【题目】如图1,一次函数y=2x+4的图象交x轴于点A,y轴于点B,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点C,OC,SAOC=2.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)如图3,点E, F分别是线段AB和线段OB上的动点,点E从点B出发,沿线段BA运动,点F从点O出发,沿线段OB运动,速度都是每秒1个单位长度。运动时间为t秒,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.是否存在某个时刻。使得BEF是直角三角形?若存在,求出t的值若不存在,请说明理由:

(3)如图2,过点BBMOB交反比例函数y= (x>0)的图象于点M,点N为反比例函数 y= (x>0)的图象上一点,∠ABM =BAN,求直线AN的解析式,

【答案】(1)y=(2)存在某个时刻使得BEF是直角三角形,此时t=20-88-16 (3)y=

【解析】

(1)先由一次函数的解析式为y=-2x+4x轴、y轴上点的坐标特征,求出A(2,0),B(0,4),再根据SAOC=2,利用三角形的面积公式求出C(1,2),然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;

(2)根据题意可得:OF=t,BF=4-t,BE=t,当△BEF是直角三角形时,有两种情况,∠BFE=90或∠BEF=90,再根据两角相等证明△BEF△BOA相似,列方程即可求出t的值

(3)由A(2,0),B(0,4),C(1,2)三点的坐标,可知CAB的中点,如图2,延长BMAN的延长线于D,根据等角对等边得到DB=DA,再连结DC,由等腰三角形三线合一的性质得出DC⊥BA,则∠DCB=∠BOA=90°,由平行线的性质易得∠DBA=∠BAO,那么△DBC∽△BAO,得出DB:BC=BA:AO,求出DB=5,得到D(5,4),然后运用待定系数法即可求出直线AN的解析式;

(1)∵一次函数y=-2x+4的图象交x轴于点A,交y轴于点B,
∴A(2,0),B(0,4).
C(m,n).
∵SAOC=2,
×2×n=2,
解得n=2.
n=-2m+4,
∴m=1,
∴C(1,2),
所以反比例函数的解析式为y=

(2)根据题意可得:OF=t,BF=4-t,BE=t,(0

RtABO中,∵A(2,0),B(0,4)则AB==2

BEF是直角三角形时,有两种情况,

①当∠BFE=90时,

∴∠BFE=∠AOB ∵∠EBF=∠ABO

BEFBAO

∴t=20-8

②当∠BEF=90

同理可得BEFBOA

∴t=8-16

综上所述,存在某个时刻使得BEF是直角三角形,此时t=20-8

8-16

(3)∵A(2,0),B(0,4),C(1,2),
∴CAB的中点,AO=2,BO=4,AB=2
∴BC=

如图2,延长BMAN的延长线于D,
∵∠ABM=∠BAN,
∴DB=DA,
连结DC,则DC⊥BA,
∵BM⊥OB,
∴BM∥OA,
∴∠DBA=∠BAO,
又∠DCB=∠BOA=90°,
∴△DBC∽△BAO,
∴DB:BC=BA:AO,

∴DB=5,
∴D(5,4).
设直线AN的解析式为y=mx+b,
∵直线ANA(2,0)、D(5,4),
解得
∴直线AN的解析式为y=

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