Question

7．实数a、b、c满足a²+b²+c²=8，代数式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²的最大值是24．

Answer 1

分析 由展开代数式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²，然后将其转化为两数差的形式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=27-（a+b+c）²，最后根据不等式的性质a²+b²≥2ab来解答．

解答 解：∵a²+b²+c²=（a+b+c）²-2ab-2ac-2bc，
∴-2ab-2ac-2bc=a²+b²+c²-（a+b+c）²①
∵（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc ②
②代入①，得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²
=3a²+3b²+3c²-（a+b+c）²
=3（a²+b²+c²）-（a+b+c）²
=3×8-（a+b+c）²=24-（a+b+c）²，
∵（a+b+c）²≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为24．
故答案为24．

点评 本题主要考查了不等式的基本性质a²+b²≥2ab．在解答此题时，还利用了非负数的性质（a+b+c）²≥0．