Question

【题目】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意过O作OE⊥AB，再结合图形证明△BOC≌△BOE，从而证明OE=OC，便可证明AB为⊙O的切线.

（2）根据题意计算AB，AC的长度，进而计算OE的长度，在证明△ABD∽△OBC，利用相似比便可计算的AD的长.

解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，

∵AD⊥BO于点D，

∴∠D=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，

∵∠AOD=∠BAD，

∴∠ABD=∠OAD，

又∵BC为⊙O的切线，

∴AC⊥BC，

∴∠BCO=∠D=90°，

∵∠BOC=∠AOD，

∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，

在△BOC和△BOE中，

∵

∴△BOC≌△BOE（AAS），

∴OE=OC，

∵OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，

∴∠EOA=∠ABC，

∵tan∠ABC= ，BC=6，

∴AC=BCtan∠ABC=8，

则AB=10，

由（1）知BE=BC=6，

∴AE=4，

∵tan∠EOA=tan∠ABC= ，

∴,

∴OE=3，OB=，

∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，

∴△ABD∽△OBC，

∴ ，即 ，

∴AD= ．