Question

如图，以矩形ABDE的一边BD为直径作半圆O，BE交圆O于C，AC的延长线交ED于M，交BD的延长线于N，若ME=MC．
（1）求证：AN与⊙O相切；
（2）求tan∠N的值．

Answer 1

考点：切线的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质得出DE∥AB，AE∥BD，AE=BD，∠EDB=∠ABD=90°，求出AC=AB，连接OC，根据全等三角形的性质和判定推出∠ACO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出DM=EM=MC，证相似求出DN=AE=BD，求出CN，解直角三角形即可求出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABDE是矩形，
∴DE∥AB，AE∥BD，AE=BD，∠EDB=∠ABD=90°，
∵ME=MC，
∴∠MEC=∠MCE，
∵DE∥AB，
∴∠EBA=∠MEC，
∵∠ECM=∠ACB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
连接OA，
在△ACO和△ABO中，

AC=AB AO=AO CO=OB

，
∴△ACO≌△ABO（SSS），
∴∠ACO=∠ABO=90°，
即OC⊥AN，
∴AN与⊙O相切；

（2）解：∵∠ACO=90°，
∴∠NCO=90°，
∵∠EDB=∠ABD=90°，
∴MD是⊙O的切线，
∵AN是⊙O的切线，
∴DM=MC，
∵MC=ME，
∴DM=ME，
∵AE∥BD，
∴△EAM∽△DNM，
∴

DN

AE

=

DM

EM

=

1

1

，
∴DN=AE=BD，
∵OC=OD=OB，
∴NO=3OC，
在Rt△NCO中，由勾股定理得：CN=

NO2-OC2

=2

2

OC，
∴tan∠N=

OC

CN

=

OC

2 2 OC

=

2

4

．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，题目比较典型，但是难度偏大．