Question

2．已知关于x的方程（1+k）x²-（2k-1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若α、β是方程（1+k）x²-（2k-1）x+k-1=0的两个不相等的实数根，试求2α+2β-3α•β的值．

Answer 1

分析 （1）由关于x的方程（1+k）x²-（2k-1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，即可得△＞0且1+k≠0，解此不等式组即可求得答案；
（2）由α、β是方程（1+k）x²-（2k-1）x+k-1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，可得α+β=-$\frac{-（2k-1）}{1+k}$=$\frac{2k-1}{1+k}$，α•β=$\frac{k-1}{1+k}$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵关于x的方程（1+k）x²-（2k-1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=[-（2k-1）]²-4×（1+k）×（k-1）=-4k+5＞0，
∴k＜$\frac{5}{4}$，
∵1+k≠0，
∴k≠-1，
∴k的取值范围为：k＜$\frac{5}{4}$且k≠-1；

（2）∵若α、β是方程（1+k）x²-（2k-1）x+k-1=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-$\frac{-（2k-1）}{1+k}$=$\frac{2k-1}{1+k}$，α•β=$\frac{k-1}{1+k}$．
∴2α+2β-3α•β=2（α+β）-3α•β=2×$\frac{2k-1}{1+k}$-3×$\frac{k-1}{1+k}$=$\frac{4k-2}{1+k}$-$\frac{3k-3}{1+k}$=$\frac{4k-2-3k+3}{1+k}$=$\frac{k+1}{1+k}$=1．

点评 此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意△＞0?方程有两个不相等的实数根；x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．