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【题目】已知△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC的平分线交⊙O于点D

I)如图①,若BC是⊙O的直径,BC4,求BD的长;

)如图②,若∠ABC的平分线交AD于点E,求证:DEDB

【答案】IBD2;(II)见解析.

【解析】

I)连接OD,易证DOB是等腰直角三角形,由勾股定理即可求出BD的长;

II)由角平分线的定义结合(1)的结论即可得出CBD+CBEBAE+ABE,再根据三角形外角的性质即可得出EBDDEB,由此即可证出BDDE

解:(I)连接OD

BCO的直径,

∴∠BAC90°

∵∠BAC的平分线交O于点D

∴∠BADCAD45°

∴∠BOD90°

BC4

BOOD2

II)证明:BE平分ABC

∴∠ABECBE

∵∠BADCBD

∴∠CBD+CBEBAE+ABE

∵∠DEBBAE+ABE

∴∠EBDDEB

BDDE

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下面是该定理的证明过程(借助了第(2)问的结论):

延长AI 交⊙O 于点 D,过点 I 作⊙O 的直径 MN,连接 DMAN.

∵∠D=N,∴∠DMI=NAI(同弧所对的圆周角相等),

∴△MDI∽△ANI.,∴ IA ID IM IN

如图②,在图 1(隐去 MDAN)的基础上作⊙O 的直径DE,连接BEBDBIIF

DE 是⊙O 的直径,∴∠DBE=90°.

∵⊙I AB 相切于点 F,∴∠AFI=90°

∴∠DBE=IFA.

∵∠BAD=E(同弧所对圆周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,∴②,

由(2)知:

又∵

2Rr(R d )(R d )

R d 2Rr

d R 2Rr

任务:(1)观察发现: IM R d IN (用含Rd 的代数式表示);

2)请判断 BD ID 的数量关系,并说明理由.(请利用图 1 证明)

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