Question

3．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰Rt△PQR，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线上，当C、Q两点重合时，△PQR以1cm/秒的速度向左开始匀速运动，设与正方形重合部分的面积为S cm²．
（1）求S与运动时间t（秒）的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）画出图形，按照不同的运动时间，分类探讨得出S与运动时间t（秒）的函数关系式，进一步求得最大值；
（2）比较（1）中的不同取值范围内的最大值，得出答案即可．

解答 解：（1）①如图，

当0≤t≤4时，S=$\frac{1}{2}$CQ²=$\frac{1}{2}$t²，
当t=4时，S最大为8；
②如图，

当4＜t≤5时，S=S_△PQR-S_△ECR，
CR=8-CQ=8-t=CE，
S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$（8-t）²═-$\frac{1}{2}$（t-8）²-16=-$\frac{1}{2}$（t-8）²+16，
当t=5时，S最大为$\frac{23}{2}$；
③如图，

当5≤t≤8时，S=S_△PQR-S_△BMQ-S_△NCR，
BQ=t-5，CR=8-t，
S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$（t-5）²-$\frac{1}{2}$（8-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+8t-$\frac{57}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{13}{2}$）²+$\frac{55}{4}$，
当t=$\frac{13}{2}$时，S最大为$\frac{55}{4}$；
④如图，

当8≤t≤9时，S=S_△PQR-S_△BEQ，
BQ=t-5，CR=
S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$（t-5）²=-$\frac{1}{2}$t²+5t+$\frac{7}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-5）²+16，
当t=8时，S最大为$\frac{23}{2}$；
⑤如图，

当9≤t≤13时，S=S_△BER，
BR=8-（t-5）=13-t，
S=$\frac{1}{2}$（13-t）²，
当t=9时，S最大为8；
⑥当t＞13，S=0；
（2）由（1）可知：S的最大值是$\frac{55}{4}$．

点评 此题考查动点问题与函数，根据正方形ABCD的边长和等腰Rt△PQR的底边长结合运动速度，按照不同的取值范围分类探讨是解决问题的难点．