Question

【题目】四边形是矩形，点在边上，，点与点关于直线对称，连接．

（1）如图，若四边形是正方形，求的度数；

（2）连接，设探究当时a与b的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）a＝b或 a＝b

【解析】

（1）连接DG，交AP于点E，连接AG，根据对称的性质和正方形的性质，可以求到AG＝AB，∠GAB＝30°，再结合等腰三角形的性质即可求得答案；

（2）连接DG，AG，先判断△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质和矩形的性质推到△GAB≌△GDC；当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部，所以这里需要分两种情况，分别画图求解即可．

（1）解：连接DG，交AP于点E，连接AG，

∵点G与点D关于直线AP对称，

∴AP垂直平分DG，

∴AD＝AG.

∵在△ADG中，AD＝AG，AE⊥DG，

∴∠PAG＝∠PAD＝30°．

又∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°

∴AG＝AB，∠GAB＝∠DAB－∠PAD－∠PAG＝30°，

∴在△GAB中，∠ABG＝∠AGB＝＝75°

∴∠GBC＝∠ABC－∠ABG＝15°

（2）解：连接DG，AG，

由（1）可知，在△ADG中，AD＝AG，

∠DAG＝∠PAD＋∠PAG＝60°，

∴△ADG是等边三角形，

∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°，

又∵ 在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB－∠DAG＝∠ADC－∠ADG，

即∠GAB＝∠GDC＝30°，

∴△GAB≌△GDC，

∴GB＝GC；

当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部，

若点G在矩形ABCD的内部，

∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°，

∴∠GBC＝=30°，

∴∠GBA＝∠ABC－∠GBC＝90°－30°＝60°，

在△ABG中，∠AGB＝180°－∠GAB－∠GBA＝90°，

∴在Rt△ABG中，cos∠GAB＝，

∴a＝b，

若点G在矩形ABCD的外部，

在△BGC中，∠GBC＝30°，

∴∠ABG＝120°，

又∵∠GAB＝30°，

∴∠AGB＝180°－30°－120°＝30°，

∴BA＝BG，

过点B作BH⊥AG，垂足为H，

∴AH＝AG＝b，

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°，

∴cos∠HAB＝，

∴a＝b，

在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°，

∴tan∠PAD＝，

∴DP＝b；

所以无论点G在矩形ABCD内部还是点G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合题意；

综上，当∠CGB＝120°时a与b的数量关系为a＝b或 a＝b．