Question

18．（1）探究发现：
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°．求证：AP²+BP²=CP²
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形
∴∠APP′=60°   PA=PP′PC=P′B
∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°
∴P′P²+BP²=P′B²
     即PA²+PB²=PC²
（2）类比延伸：
如图②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．
（3）联想拓展：
如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）²+PB²=PC²，请直接写出k的值．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可；
（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=$\sqrt{2}$PA，再根据勾股定理代换即可；
（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′=$\sqrt{3}$PA，再根据勾股定理代换即可．

解答 解：（1）PC=P′B 
P′P²+BP²=P′B²．
（2）关系式为：2PA²+PB²=PC²

证明如图②：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，
则△APP′为等腰直角三角形
∴∠APP′=45°PP′=$\sqrt{2}$PA，PC=P′B，
∵∠APB=135°
∴∠BPP′=90°
∴P′P²+BP²=P′B²，
∴2PA²+PB²=PC²

（3）k=$\sqrt{3}$．

证明：如图③
将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，
可得∠APP′=30°PP′=$\sqrt{3}$PA，PC=P′B，
∵∠APB=60°，
∴∠BPP′=90°，
∴P′P²+BP²=P′B²，
∴（$\sqrt{3}$PA）²+PB²=PC²
∵（kPA）²+PB²=PC²，
∴k=$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查几何变换中的旋转变换，熟悉旋转变换的性质，并通过旋转构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．