Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，∠CAF＝2∠B．

（1）求证：AE＝AC；

（2）若⊙O的半径为4，E是OB的中点，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝

【解析】

（1）过A作AH⊥CE于H，结合直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB的余角∠CAH＝∠ABC，结合∠CAF＝2∠ABC，得到∠EAH＝∠CAH，依据ASA证明△ACH≌△AEH，依据全等的性质即可；

（2）连接BF，先根据半径是4，及E是OB的中点，求出CE、BE；然后利用第（1）问∠CAH＝∠ABC，及公共角∠C证明△CAH∽△CBA，依据相似的性质求得AC、AE，再依据同弧所对的圆周角相等，得到证明△CAE∽△FBE的条件，依据相似的性质即可求得EF的长．

（1）证明：过A作AH⊥CE于H，

又∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB＝∠AHC＝∠AHE＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝∠ACB+∠CAH＝90°，

∴∠CAH＝∠ABC，

又∵∠CAF＝2∠ABC，

∴∠EAH＝∠CAH，

又∵AH＝AH，

∴△ACH≌△AEH（ASA），

∴AC＝AE；

（2）解：连接BF，

∵⊙O的半径为4，

∴BC＝8，

∵E是OB的中点，

∴BE＝OE＝2，

∴CE＝6，

∴CH＝CE＝3，

∵∠CAH＝∠ABC，∠C＝∠C，

∴△CAH∽△CBA，

∴,

∴AC2＝CHCB＝3×8＝24，

∴AE＝AC＝2，

∵∠F＝∠C，∠FBE＝∠CAE，

∴△CAE∽△FBE，

∴，

∴，

∴EF＝．