Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的值．

Answer 1

【答案】（1）CD与圆O相切；（2）AE=5．

【解析】

（1）连接OD，则∠AOD=为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，从而得出∠CDO=90°，即可证出答案；

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE，根据题意得sin∠ABE=. 由AB是圆O的直径求出AB的长.再在Rt△ABE中，求得AE即可．

解：（1）CD与圆O相切． 证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED =2×450=900

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC

∴∠CDO=∠AOD=90°

∴OD⊥CD

∴CD与圆O相切

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE

∴sin∠ADE=sin∠ABE=

∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=900，AB=2×3=6

在Rt△ABE中，sin∠ABE=．

∴AE=5 ．