Question

如图，对称轴为x=-3的抛物线y=ax²+2x 与x 轴相交于点B、O．连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l（1）①求抛物线的解析式，并求出顶点A 的坐标；
②求直线l的函数解析式．
（2）若点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当9＜S≤18时，t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最小值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；
（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：
①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；
②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；
结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；
（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）①∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（-6，0）．
将点B坐标代入y=ax²+2x得：
36a-12=0；
∴a=

1

3

．
∴抛物线解析式为y=

1

3

x2+2x．
当x=-3时，y=-3
∴顶点A坐标为（-3，-3）．

②设直线AB解析式为y=kx+b．
∵A（-3，-3），B（-6，0），
∴

-3k+b=-3 -6k+b=0

，
解得

k=-1 b=-6

，
∴y=-x-6．
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y=-x．

（2）∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，-t）．
当P在第二象限时（t＜0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=

1

2

×6×3+

1

2

×6×|-t|
=9-3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9-3t≤18，
∴-3≤t＜3．
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0．
当P在第二象限时（t＞0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=

1

2

（3+t）（3+t）+

1

2

×3×3-

1

2

t•t=3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜3t+9≤18，
∴-3＜t≤3；
又∵t＞0，
∴0＜t＜3；
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t＜3．

（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（3，9）．
由（2）知t的最小值为-3，则P（-3，3）；
过O、P作直线m、n垂直于直线l；
∵直线l的解析式为y=-x，
∴直线m的解析式为y=x；
可设直线n的解析式为y=x+h，则有：
-3+h=3，h=6；
∴直线n：y=x+6；
联立直线m与抛物线的解析式有：

y=x y= 1 3 x2+2x

，
解得

x=0 y=0

，

x=-3 y=-3

；
∴Q₁（-3，-3）；
同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q₂（-6，0），Q₃（3，9）．

点评：此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．