【题目】二次函数=
+
+
的顶点M是直线
=-
和直线
=
+
的交点.
(1)若直线=
+
过点D(0,-3),求M点的坐标及二次函数
=
+
+
的解析式;
(2)试证明无论取任何值,二次函数
=
+
+
的图象与直线
=
+
总有两个不同的交点;
(3)在(1)的条件下,若二次函数=
+
+
的图象与
轴交于点C,与
的右交点为A,试在直线
=-
上求异于M的点P,使P在△CMA的外接圆上.
【答案】(1)M点坐标为M(2,-1),二次函数=
+
+
的解析式为:
=
-4
+3;
(2)证明见解析;
(3)P(-,
)
【解析】(本小题满分14分)
解:(1)把D(0,-3)坐标代入直线=
+
中,
得=-3,从而得直线
=
-3.……………………………………………1分
由M为直线=-
与直线
=
-3的交点,
得,………………………………………………………………………2分
解得,∴得M点坐标为M(2,-1).…………………………………3分
∵M为二次函数=
+
+
的顶点,∴其对称轴为
=2,
由对称轴公式: =-
,得-
=2,∴
=-4;
由=-1,得
=-1,得
=3.
∴二次函数=
+
+
的解析式为:
=
-4
+3;………………4分
[也可用顶点式求得解析式:由M(2,-1),
得=
-1,展开得
=
-4
+3]
(2)∵M是直线=-
和
=
+
的交点,得
,
解得,∴得M点坐标为M(-
,
).…………………………1分
从而有-=-
和
=
,
解得=
;
=
+
.…………………………………………………3分
由,得
+(
-1)
+
-
=0,……………………4分
该一元二次方程根的判别式
⊿=(-1)2-4(
-
)
=(-1)2-4(
+
-
)=1>0,…………………………5分
∴二次函数=
+
+
的图象与直线
=
+
总有两个不同的交点;
(3)解法①:
由(1)知,二次函数的解析式为: =
-4
+3,
当=0时,
=3.∴点C的坐标为C(0,3).……………………………1分
令=0,即
-4
+3=0,解得
=1,
=3,
∴点A的坐标为A(3,0).………………………………………………………2分
由勾股定理,得AC=3.∵M点的坐标为M(2,-1),
过M点作轴的垂线,垂足的坐标应为(2,0),由勾股定理,
得AM=;过M点作
轴的垂线,垂足的坐标应为(0,-1),
由勾股定理,得CM==
=2
.
∵AC2+AM2=20=CM2,∴△CMA是直角三角形,……………………3分
CM为斜边,∠CAM=90°.
直线=-
与△CMA的外接圆的一个交点为M,另一个交点为P,
则∠CPM=90°.即△CPM为Rt△.………………………………………4分
设P点的横坐标为,则P(
,-
).过点P作
轴垂线,
过点M作轴垂线,两条垂线交于点E(如图4),则E(
,-1).
过P作PF⊥轴于点F,则F(0,-
).
在Rt△PEM中,PM2=PE2+EM2
=(-+1)2+(2-
)2=
-5
+5.
在Rt△PCF中,PC2=PF2+CF2=+(3+
)2
=+3
+9.在Rt△PCM中,PC2+PM2=CM2,
得+3
+9+
-5
+5=20,
化简整理得5-4
-12=0,解得
=2,
=-
.
当=2时,
=-1,即为M点的横、纵坐标.
∴P点的横坐标为-,纵坐标为
.
∴P(-,
).……………………………………………………………………5分
解法②[运用现行高中基本知识(解析几何):线段中点公式及两点间距离公式]:
设线段CM的中点(即△CMA内接圆的圆心)为H,则由线段中点公式,可求出H的坐标为H(1,1).∵点P在⊙H上,∴点P到圆心H的距离等于半径.
设点P的坐标为:P(,-
),由两点间的距离公式,得PH的长度为:
,从而有:
=
,即
=5,化简,整理,得化简整理得5
-4
-12=0,解得
=2,
=-
.当
=2时,
=-1,即为M点的横、纵坐标.
∴P点的横坐标为-,纵坐标为
.
∴P(-,
).
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【题目】某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛,在最近的五次选拔测试中,他俩的成绩分别如下表:
次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
小王 | 60 | 75 | 100 | 90 | 75 |
小李 | 70 | 90 | 100 | 80 | 80 |
根据上表解答下列问题:
(1)完成下表:
姓名 | 平均成绩(分) | 中位数(分) | 众数(分) | 方差 |
小王 | 80 | 75 | 75 | 190 |
小李 |
(2)在这五次测试中,成绩比较稳定的同学是谁?若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀,则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少?
(3)历届比赛表明,成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖,成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖,那么你认为选谁参加比赛比较合适?说明你的理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地,则可列方程( )
A.54﹣x=20%×108
B.54﹣x=20%(108+x)
C.54+x=20%×162
D.108﹣x=20%(54+x)
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【题目】如图,⊙O的半径OA⊥OC,点D在上,且
=2
,OA=4.
(1)∠COD= °;
(2)求弦AD的长;
(3)P是半径OC上一动点,连结AP、PD,请求出AP+PD的最小值,并说明理由.
(解答上面各题时,请按题意,自行补足图形)
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【题目】把下列各数分别填入相应的集合内:
﹣2.5,0,8,﹣2, ,
, ﹣0.5252252225…(每两个5之间依次增加1个2).
(1)正数集合:{ …};
(2)负数集合:{ …};
(3)整数集合:{ …};
(4)无理数集合:{ …}.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】综合题。
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,试证明:CD=BE.
(2)如图2,在△ABC中,仍然有条件“AB=AC,点D,E分别在AB和AC上”.若∠ADC+∠AEB=180°,则CD与BE是否仍相等?若相等,请证明;若不相等,请举反例说明.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小敏从A地出发向B地行走,同时小聪从B地出发向A地行走,如图所示,相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系,则小敏、小聪行走的速度分别是( )
A. 3km/h和4km/h B. 3km/h和3km/h
C. 4km/h和4km/h D. 4km/h和3km/h
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人,这个数据用科学记数法表示为( )
A.5.6×103
B.5.6×104
C.5.6×105
D.0.56×105
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