Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx+3过点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁经过A，B，C三点，与抛物线相交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）求圆心O₁的坐标；
（3）点E为抛物线对称轴上的一点，在抛物线上存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求出所有点F的坐标；
（4）在（3）的情况下，当四边形AEBF恰好是正方形时，求出它的边长．

Answer 1

分析 （1）将已知点的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）过O₁作O₁H⊥x轴得到O₁的横坐标为-2，设O₁（-2，y），过C作CQ⊥HO₁，利用勾股定理得到O₁H²+HB²=O₁Q²+QC²，从而得到y²+1²=（3-y）²+2²，
解得：y=2后即可得到O₁的坐标；
（3）设F（x，x²+4x+3），分若E、F在AB的同侧和若E、F在AB的异侧，则F与抛物线的顶点重合两种情况即可求得点F的坐标；
（4）当E、F在AB的两侧时，根据四边形AFBE是平行四边形，AB⊥EF，F₃（-2，-1）得到EF=2，然后根据AB=2得到四边形AEBF是正方形，求得BF=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3过点A（-3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3，对称轴为直线x=-2；

（2）过O₁作O₁H⊥x轴，
∴AH=HB，
∵OB=1，AB=2，
∴OH=2，
∴O₁的横坐标为-2，
设O₁（-2，y）过C作CQ⊥HO₁，
∵O₁B=O₁C，
∴O₁H²+HB²=O₁Q²+QC²，
∴y²+1²=（3-y）²+2²，
解得：y=2，
∴O₁（-2，2）；

（3）设F（x，x²+4x+3），
①若E、F在AB的同侧，则EF=AB=2，
∵点E在抛物线的对称轴上，
∴|x+2|=2，
∴x=0或x=-4，
∴F₁（0，3），F₂（-4，3）；
②若E、F在AB的异侧，则F与抛物线的顶点重合，即F₃（-2，-1），
∴存在点F₁（0，3），F₂（-4，3），F₃（-2，-1），
∴A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形；

（4）当E、F在AB的两侧时，
∵四边形AFBE是平行四边形，AB⊥EF，F₃（-2，-1），
∴EF=2，
又∵AB=2，
∴四边形AEBF是正方形，
∴BF=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．