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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线ABy轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(11).

(1)求线段AB的长.

(2)P为线段AB.上方抛物线上的任意一点,过点PAB的垂线交AB于点H,点Fy轴上一点,当PBE的面积最大时,求PH + HF + FO的最小值.

(3)(2)中,PH+HF+FO取得最小值时,将CFH绕点C顺时针旋转60°后得到CF'H',过点F'CF'的垂线与直线AB交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点DQRS为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1) AB=2(2) (3) (-13-)( -13 + )( -18)(53).

【解析】

1)求出AB两点坐标,即可解决问题;
2)如图1中,设Pm-m2+4m),作PNy轴交BEN.构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P坐标,作直线OGABG,使得∠COG=30°,作HKOGKOCF,因为FK=OF,推出PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK,此时PH+HF+OF的值最小,解直角三角形即可解决问题;
3)分两种情形分别求解即可.

解:(1)由题意A13),B33),
AB=2

2)如图1中,

Pm-m2+4m),作PNy轴交BEN
∵直线BE的解析式为y=x
Nmm),
SPEB=×2×(-m2+3m=-m2+3m
∴当m=时,△PEB的面积最大,此时P),H3),
PH=-3=
作直线OGABG,使得∠COG=30°,作HKOGKOCF
FK=OF
PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK,此时PH+HF+OF的值最小,
HGOC=OGHK
HK=
PH+HF+OF的最小值为

3)如图2中,由题意CH=CF=QF=CQ=1

Q-13),D24),DQ=
①当DQ为菱形的边时,S1-13-),S2-13+),S453
②当DQ为对角线时,可得S3-18),
综上所述,满足条件的点S坐标为(-13-)或(-13+)或(-18)或(53).

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