Question

如图，点P是⊙O外的一点，PA，PB为⊙O的两条切线，E为PB的中点，连接EA，交⊙O于D点，连接PD并延长，交⊙O与C点．求证：AB=CD．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：根据弦切角定理得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据切割线定理得BE²=ED•EA，由于BE=PE，则EP²=ED•EA，加上∠DEP=∠PEA，则可证明△EPD∽△EAP，得到∠6=∠3，则∠6=∠4，所以∠7=∠1+∠6=∠2+∠4，即∠7=∠ACB，接着由圆周角定理得∠7=∠5，所以∠ACB=∠5，然后根据等腰三角形的判定定理得到AB=CB．

解答：证明：∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵EB为⊙O的切线，EA为⊙O的割线，
∴BE²=ED•EA，
而E为PB的中点，
∴BE=PE，
∴EP²=ED•EA，即

EP

EA

=

ED

EP

，
而∠DEP=∠PEA，
∴△EPD∽△EAP，
∴∠6=∠3，
∴∠6=∠4，
∵∠7=∠1+∠6，
∴∠7=∠2+∠4，
即∠7=∠ACB，
∵∠7=∠5，
∴∠ACB=∠5，
∴AB=CB．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弦切角定理、切割线定理和相似三角形的判定与性质．