Question

13．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，AE：DE=4：3，则下列结论中正确的个数为（　　）
①DE=3cm；②BE=1cm；③S_菱形=15cm²；④AC=2$\sqrt{10}$cm．

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 连接AC交BD于O，由菱形的性质求出边长，设AE=4x，DE=3x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，得出AE、DE，由菱形的面积=底×高，求出菱形的面积；根据勾股定理求出BD，得出OD，再由勾股定理求出OA，得出AC，即可得出结论．

解答 解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴AD=AB=5cm，
∵DE⊥AB，AE：DE=4：3，
则∠AED=90°，
设AE=4xcm，DE=3xcm，
根据勾股定理得：（4x）²+（3x）²=5²，
解得：x=1，
∴AE=4cm，DE=3cm，
∴BE=5-4=1，S_菱形=AB•DE=5×3=15（cm²），
∴①②③正确；
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△AOD中，OA=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴AC=2OA=3$\sqrt{10}$，
∴④不正确；
故选：B．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，并能运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．