Question

14．如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点E．
（1）设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
（3）在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
（4）如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；
（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式$\frac{PE}{OD}=\frac{AP}{OA}=\frac{AE}{AD}$，得出PE=$\frac{3}{4}$t，AE=$\frac{5}{4}$t，当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，解方程即可；
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当DP=DE=$\frac{5}{4}$t-5时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；
（4）设直线AD交BB′于F，连接BB′，则AF⊥BB′，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出BF=$\frac{8}{5}$，得出BB′=$\frac{16}{5}$，证明△AOE∽△BOB′，得出比例式求出AE=$\frac{64}{25}$，即可得出t的值．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），
∴OA=4，OD=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
①当0≤t≤4时，
∵PE∥x轴，
∴$\frac{AP}{OA}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{t}{4}$=$\frac{AE}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$t，
∴DE=5-$\frac{5}{4}$t，
即y=5-$\frac{5}{4}$t（0≤t≤4）；
②当t＞4时，y=$\frac{5}{4}$t-5（t＞4）；
综上所述，y关于t的函数关系式为y=5-$\frac{5}{4}$t（0≤t≤4），或y=$\frac{5}{4}$t-5（t＞4）；
（2）作EM⊥OD于M，如图1所示：
则EM=4-t，
∵PE∥OD，
∴$\frac{PE}{OD}=\frac{AP}{OA}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{PE}{3}=\frac{t}{4}=\frac{AE}{5}$，
解得：PE=$\frac{3}{4}$t，AE=$\frac{5}{4}$t，
当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：
①当0＜t＜4时，$\frac{3}{4}$t=4-t，
解得：t=$\frac{16}{7}$，此时PE=$\frac{12}{7}$；
②当t＞4时，$\frac{3}{4}$t=t-4，
解得：t=16，此时12；
综上所述，当t为$\frac{16}{7}$或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为$\frac{12}{7}$或12；
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，
∴$\frac{3}{4}$t=5-$\frac{5}{4}$t，
解得：t=$\frac{5}{2}$；
当t＞4时，分三种情况：如图2所示：
①当DP=DE=$\frac{5}{4}$t-5时，
由勾股定理得：OP²+OD²=DP²，
即（t-4）²+3²=（$\frac{5}{4}$t-5）²，
解得：t=8；
②当PE=PD时，
由勾股定理得：（t-4）²+3²=（$\frac{3}{4}$t）²，
解得：t=$\frac{100}{7}$，或t=4（舍去）；
∴t=$\frac{100}{7}$；
③当PE=DE时，$\frac{3}{4}$t=$\frac{5}{4}$t-5
解得：t=10；
综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为$\frac{5}{2}$或8或$\frac{100}{7}$或10；
（4）设AD交BB′于F，连接BB′，如图3所示：
则AF⊥BB′，
∴∠AOD=∠BFD=90°，
又∵∠ADO=∠FDB，
∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，
∴$\frac{BF}{AO}=\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BF}{4}=\frac{2}{5}$，
∴BF=$\frac{8}{5}$，
∴BB′=2BF=$\frac{16}{5}$，
∵∠AOE=∠BOB′，∠OAD=∠FBD，
∴△AOE∽△BOB′，
∴$\frac{AE}{BB′}=\frac{AO}{BO}$，即$\frac{AE}{\frac{16}{5}}=\frac{4}{5}$，
∴AE=$\frac{64}{25}$=$\frac{5}{4}$t，
∴t=$\frac{256}{125}$．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．