Question

1．如图，已知△ABC，AB=AC=13厘米，BC=10厘米．O是△ABC的外心，G是△ABC的重心，求0G的长．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5厘米，由勾股定理求出AD，由重心定理即可得出AG的长，设OA=OB=x厘米，则OD=（8-x）厘米，在Rt△OBD中，由勾股定理得出方程，解方程求出OA，即可得出0G的长．

解答 解：如图所示：
∵AB=AC，O是△ABC的外心，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5厘米，OA=OB，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12（厘米），
∵G是△ABC的重心，
由重心定理得：AG=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×12=8（厘米），
设OA=OB=x厘米，则OD=（8-x）厘米，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
5²+（12-x）²=x²，
解得：x=$\frac{169}{24}$，
∴OA=$\frac{169}{24}$（厘米），
∴OG=AG-OA=8-$\frac{169}{24}$=$\frac{23}{24}$（厘米）．

点评 本题考查了三角形的外心、等腰三角形的性质、勾股定理、重心定理；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理和重心定理是解决问题的关键．