Question

【题目】已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上.

(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，

①求证：AF＝AE+AD.

②求证：AD∥BC.

(2)如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)AF＝AE+BC.

【解析】

(1)①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD＝BE，可得结论；

②由全等三角形的性质可得∠DAC＝∠EBC=60°，由平行线的判定可得结论；

(2)如图2，在 FA 上截取 FM＝AE，连接 DM，由“SAS”可证△AED≌△MFD，可得DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，可证∠ADM＝∠BAC，由“SAS”可证△ABC≌△DAM，可得AM＝BC，可得结论.

证明：(1)①∵∠BAC＝∠EDF＝60°，AB＝AC，DE＝DF，

∴△ABC，△DEF 为等边三角形，

∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，

∴∠BCE＝∠ACD，

在△BCE 和△ACD 中，，

∴△BCE≌△ACD(SAS)，

∴AD＝BE，

∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF，

即AF＝AE+AD；

②∵△BCE≌△ACD，

∴∠DAC＝∠EBC，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠EBC＝∠EAC＝∠DAC＝60°，

∴∠EBC＋∠DAE=∠EBC+∠EAC+∠DAC＝180°，

∴AD∥BC.

(2)如图2，在FA上截取FM＝AE，连接DM，

∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，

∴∠AED＝∠MFD，

在△AED 和△MFD中，

，

∴△AED≌△MFD(SAS)，

∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，

∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，

即∠ADM＝∠EDF，

∴∠ADM＝∠BAC，

在△ABC 和△DAM 中，

∴△ABC≌△DAM(SAS)，

∴AM＝BC，

∴AE+BC＝FM+AM＝AF.

即AF＝AE+BC.