Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点 B（t，b）在直线y=b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中b是大于零的常数。设直线y=b与y轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，说明理由。

Answer 1

解：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，

∵D、E分别是OB、OA的中点，∴DE∥AB。

同理，EF∥OB。

∴四边形DEFB是平行四边形。

①当直线y=b与⊙E相切或相交时，

若点B是切点或交点，则由圆周角定理∠ABO=90°，

∴四边形DEFB是矩形。

此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，∴，即OB²=OA•BC=8t。

在Rt△OBC中，OB²=BC²＋OC²=t²＋b²。

∴t²＋b²=8t，即t²－8t＋b²=0，解得。

②当直线y=b与⊙E相离即b＞4时，∠ABO＜90°，∴四边形DEFB不是矩形。

综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形。

【考点】动点问题，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，直线与圆的位置关系，解一元二次方程，圆周角定理，三角形外角定理。